Solución al Problema 4

Hago un nuevo post después de un largo tiempo, he modificado un poco la apariencia del blog y además ahora se pueden realizar comentarios sin necesidad de una cuenta de gmail.

Podemos reescribir la expresión dada como :

Luego si expandemos el término derecho mediante el binomio de Newton, sólo quedaría demostrar que divide a:

Como divide a , se tiene el resultado pedido.

Algunos links

1) Mathlinks (http://www.mathlinks.ro/): una comunidad mundial de personas interesadas en la matemática.

2) IMO compendium (http://www.imomath.com/?options=gl|main): un archivo con gran cantidad de problemas de las olimpiadas matemáticas internacionales y de diferentes países.

3) Problem Corner (http://www.problemcorner.org/): archivo con alrededor de 20,000 problemas de diversas publicaciones y competencias.

4) Mathematical Reflections (http://reflections.awesomemath.org/index.html): publicación editada por el Dr. Titu Andreescu, entrenador del equipo para la olimpíada internacional de matemática de los EE.UU.

5)Olimpiada mexicana de matemática (http://erdos.fciencias.unam.mx/omm/modules.php?name=Content&pa=showpage&pid=5)

6) Olimpiada argentina de matemática (http://www.oma.org.ar/)

7) Revista de la Olimpiada Iberoamericana de matemática (http://www.oei.es/oim/revistaoim/index.html)

8) Olimpiada venezolana de matemática (http://www.acm.org.ve/material.php)

9) Olimpiada matemática española (http://platea.pntic.mec.es/csanchez/olimmain.htm)

10) Bella Geometría (http://garciacapitan.auna.com/bella/)

11) Foro Geometras (http://forogeometras.com/)

12) Seminarios de problemas de la Universidad de Valladolid (http://www.cie.uva.es/matematicas/olimpiadamatematica/principal_sem.htm)

13) Foro en español (www.fmat.cl)

14) Página sobre olimpíadas de matemática del ICH (http://aduni.com.pe/olimpiadas/)

Me avisan si conocen otros sitios.

Solución al Problema 2

Encontré este problema particularmente interesante ya que no es uno que halla sacado de un libro de matemática sino que es la idea que se necesita para resolver un problema de programación(algoritmos) que encontré aquí http://acm.tju.edu.cn/toj/showp2915.html .

Se define los siguientes términos , , , entonces tenemos términos, y además se tiene que , entonces por el principio del palomar se tiene que existen y , tales que , y .

Y entonces se tiene que es divisible por c.

Solución al Problema 1

1º) Si trazamos el segmento AC, tenemos que , entonces el segmento DE es paralelo al segmento AC, además como los arcos AD y DC son de igual medida si unimos el centro de la circunferencia con D tendremos que este segmento intersecta a AC de forma perpendicular en su punto medio al que llamaremos M, además al ser perpendicular a AC también será perpendicular a DE en D, entonces la recta que contiene al segmento DE será la recta tangente a la circunferencia en el punto D.

2º) Sea G la intersección de AE y DM obervemos que como GM es paralelo a EC y AM=MC, entonces se tendrá AG=GE.

Si llamamos X al punto de intersección de BF y DE. Teniendo que AG=GE podemos observar que para demostrar lo pedido (es decir, DX=XE), necesitamos demostrar que AD es paralelo GX.

Entonces:

3º) Sea como DE es tangente a la circunferencia también tenemos que .

4º) Observemos que el cuadrilátero XDGF es inscriptible ya que , por lo cual , entonces .

5º) Como se tiene que DA es paralelo a XG y en consecuencia .


He tratado que la solución sea lo más entendible posible pero cualquier consultan me avisan.

Principio del palomar (Pigeonhole principle)

Aquí algunos links que les puede ayudar en el Problema 2:

http://www.ehu.es/olimpiadamat/Curso%202004-05/Material/Palomar/principio_palomar.pdf

http://www.math.ust.hk/~mabfchen/Math232/Pigeonhole.pdf