Solución al Problema 2

Encontré este problema particularmente interesante ya que no es uno que halla sacado de un libro de matemática sino que es la idea que se necesita para resolver un problema de programación(algoritmos) que encontré aquí http://acm.tju.edu.cn/toj/showp2915.html .

Se define los siguientes términos , , , entonces tenemos términos, y además se tiene que , entonces por el principio del palomar se tiene que existen y , tales que , y .

Y entonces se tiene que es divisible por c.

Solución al Problema 1

1º) Si trazamos el segmento AC, tenemos que , entonces el segmento DE es paralelo al segmento AC, además como los arcos AD y DC son de igual medida si unimos el centro de la circunferencia con D tendremos que este segmento intersecta a AC de forma perpendicular en su punto medio al que llamaremos M, además al ser perpendicular a AC también será perpendicular a DE en D, entonces la recta que contiene al segmento DE será la recta tangente a la circunferencia en el punto D.

2º) Sea G la intersección de AE y DM obervemos que como GM es paralelo a EC y AM=MC, entonces se tendrá AG=GE.

Si llamamos X al punto de intersección de BF y DE. Teniendo que AG=GE podemos observar que para demostrar lo pedido (es decir, DX=XE), necesitamos demostrar que AD es paralelo GX.

Entonces:

3º) Sea como DE es tangente a la circunferencia también tenemos que .

4º) Observemos que el cuadrilátero XDGF es inscriptible ya que , por lo cual , entonces .

5º) Como se tiene que DA es paralelo a XG y en consecuencia .


He tratado que la solución sea lo más entendible posible pero cualquier consultan me avisan.